Дилемма рыбака

Благодаря Михаилу Фарленкову познакомился с весьма любопытной и показательной игрой. Думаю, она вполне достойна того, чтобы посвятить ей как минимум одну статью.

Как выяснилось позднее, эта игра — наглядная иллюстрация явления, именуемого «Трагедия общин».

Правила и математика игры

Есть водоем с рыбой. Известно, что максимальная вместимость водоема — 50 и в начале игры он полон. Каждый ход, 5 игроков могут по очереди оставлять ведущему в письменном виде свой заказ на количество рыбы, которое они хотят заполучить из этого водоема. Все полученные заказы исполняются в случайном порядке. Если в водоеме недостаточно рыбы для выполнения очередного заказа, то этот заказ не выполняется. После того как рассмотрены все заказы от игроков, оставшееся в водоеме количество рыбы увеличивается вдвое. Наступает следующий ход. Задача игры — за определенное и заранее неизвестное количество ходов набрать как можно больше рыбы.

С точки зрения математики решение очевидно. Для извлечения максимального количества рыбы из водоема, нужно каждый ход брать из него половину содержимого, а в последний ход — забрать все. В случае 5 игроков, каждый ход нужно заказывать по 5 рыбы и в последний ход заказать 10. Однако, если заранее неизвестно какой ход может стать последним, то оптимальное решение становится менее очевидным.

Разделим все варианты решений на два:
Первые решения ориентированы на поддержание максимального количества рыбы в водоеме и рассчитывают на то, что игра будет продолжена. Назовем такую стратегию «долгосрочной».
Вторые решения — на то, что текущий ход является последним, и нужно забрать максимальное количество рыбы из водоема. Назовем такую стратегию «краткосрочной».

С точки зрения всех игроков, как единого целого, долгосрочная стратегия позволяет извлекать из водоема по 25 единиц рыбы в ход. Опустошение водоема приносит 50 единиц и этот шаг выгоден только в случае, если игра будет идти ровно 1 ход.

С точки зрения одного игрока, долгосрочная стратегия приносит 5 единиц рыбы в ход. Краткосрочная стратегия может принести максимум 30 единиц рыбы (при условии, что все остальные игроки избрали долгосрочную стратегию). Соответственно, с точки зрения отдельного игрока долгосрочная стратегия выгодна в случае если игра продолжается более 6 ходов.

Есть еще вариант, когда до определенного момента игра ведется по долгосрочной стратегии, а позднее меняется на краткосрочную. В этом варианте все зависит от способности игрока предугадать момент наступления последнего хода. В таком случае важно так же чувствовать настроения других игроков и сыграть на опустошения водоема в тот момент, когда все еще играют на перспективу. Взаимодействие между игроками в таком случае, по-сути, является вариацией знаменитой дилеммы заключенного. Назовем такую стратегию «рискованной».

При этом есть три варианта возможных ошибок:
В первом варианте решение опустошить водоем принимается позднее, чем наступает последний ход. То есть оно не принимается вовсе. И тогда результат идентичен долгосрочной стратегии.

Во втором варианте решение опустошить вариант принимается раньше срока окончания игры. Опустошение водоема останавливает игру и делает невозможным дальнейшую добычу рыбы. В таком случае цена ошибки — 25 единиц рыбы для всех, и 5 единиц рыбы для отдельного игрока за каждый ход, который еще должен был состояться.
В третьем варианте решение опустошить водоем принимается одновременно с другим игроком. В таком случае результат для игрока, чей заказ будет рассмотрен первым, будет идентичен второму варианту. А для второго игрока результат будет на 5 единиц рыбы меньше, чем он мог бы получить с помощью долгосрочной стратегии, и на 30 единиц меньше, чем он мог бы получить в случае, если бы его заказ был рассмотрен первым. Это не считая потерь, которые может принести выполнение условий второй ошибки.

Получается, что рискованная стратегия, по сравнению с долгосрочной, способна увеличить выигрыш на 25 единиц. С точки зрения общей выгоды это равноценно 1 ходу долгосрочной стратегии. С токи зрения одного игрока — 5 ходам. Но это в случае ее идеальной реализации.
Во всех остальных случаях — возможные потери от нее, в сравнении с долгосрочной, возрастают в алгебраической прогрессии, пропорционально количеству ходов в игре.
При количестве ходов, стремящимся к бесконечности, выгода от рискованной стратегии стремиться к нулю.

Выходит так, что в случае заранее неизвестного количества ходов, оптимальной стратегией все же является долгосрочная. И если все игроки придерживаются этой стратегии, то это дает максимальные шансы на наибольший выигрыш для всех.

Очевидное и вероятное

Но такой исход возможен только в случае, когда все игроки видят это оптимальное решение и согласны с ним. На практике все происходит немного иначе. Практически всегда находится игрок, который делает заказ более чем на 5 единиц рыбы. Более того, такой игрок не придерживается ни одной из описанных выше стратегий. Зачастую таких игроков несколько.

Давайте посмотрим на развитие реальной игры с живыми людьми, в которой 4 из 5 игроков изначально придерживались долгосрочной стратегии, а 1 действовал из иных размышлений.

И так, в то время как остальные игроки заказали по 5 единиц рыбы, наш герой делает заказ на 16 единиц. Почему он так поступает? Во-первых он опасается скорого конца игры, во-вторых, согласно психологической позиции «все нормальные люди такие же как и я», он ожидает больших заказов от других игроков.

В результате в водоеме остается 9 единиц рыбы, которые увеличиваются до 18.

Если продолжать придерживаться оптимальной стратегии, то самое разумное решение — не делать заказов на этом ходу и дать рыбе увеличиться до 36 единиц. Потом сделать заказ на 10 единиц (по 2 рыбы на человека). На следующем ходу водоем снова будет заполнен до максимума и можно продолжать «плановую» добычу.

Однако, повторюсь, что такое возможно в случае если все игроки согласованно придерживаются оптимальное стратегии. Наш «герой» мог бы признать свою ошибку, которая уже привела к потерям 35 единиц рыбы, которые можно было бы получить в следующие ходы. При этом он мог бы частично компенсировать эти потери из тех 11 «лишних» единиц, которые он взял, снизив «чистые потери» до 24 единиц.

Такого не происходит, поскольку в жизни, как правило, разыгрываются иные сценарии. Инициатор потрясений делает еще один аккуратный заказ на 5 единиц, поскольку ожидает скорого опустошения водоема и окончания игры. 3 игрока продолжают придерживаться принятого курса и не делают заказов (точнее делают его равным 0). Оставшийся игрок, видя сложившуюся ситуацию, предпочитает изменить свою стратегию и тоже начать потихоньку готовиться к концу игры, делая заказ на 3 единицы.

В результате в водоеме осталось 10 единиц рыбы, которые увеличиваются до 20. При этом у 3 игроков по 5 единиц на счету, у одного — 8, и еще у одного — 23.

Дальше, как правило, игра развивается следующим образом. Игроки делают «осторожные» заказы на 1-5 единиц, а количество рыбы в водоеме на начало каждого хода колеблется в районе 12-25.

При всей очевидности решения, с каждым последующим ходом доверие между игроками становиться все меньше, а страх последнего хода все сильнее, что мешает реализовать это решение. В результате даже если сложить добычу всех игроков, она оказывается в несколько раз меньше того, что могло бы быть у каждого, в случае согласованного движения по оптимальной стратегии.

Ситуация развивается в разы драматичнее, в случаях когда значения заказов и полученной рыбы неизвестны другим игрокам. Ровно как и текущее количество рыбы в водоеме.

Жизнь — игра

Я искренне люблю игры за их иллюстративность и наглядность. Игра позволяет вынести малозначимые детали за скобки и сфокусироваться на ключевых моментах, которые в реальных ситуациях часто оказываются скрыты от нас, будучи погребенными под слоями этих самых деталей.

Данная игра наглядно отражает очень многие процессы, происходящие в малых и больших группах людей, в сообществах и даже государствах. При наглядности и доступности стратегий «выиграл-выиграл», недостаток дальновидности и самоконтроля порождают кризисные ситуации. При всей очевидности многих оптимальных решений, страх и недоверие мешает их воплощению.

Более того, даже будучи созданной, оптимальная система находиться в состоянии хрупкого равновесия, разрушить которое можно действиями одного единственного элемента. И чем больше в системе элементов, тем более хрупкой она становится.

Можно с помощью теории игр найти равновесную модель, при которой все население Земли сможет поддерживать ресурсы планеты в состоянии «заполненного водоема». Однако чтобы воплотить эту модель в жизнь, нужно чтобы все население было способно пройти «тест с зефиром».

Либо нужно разработать такую модель и такие правила игры, при которых реализация оптимальных стратегий была возможна и при всей непредсказуемости человеческого фактора. Поиск таких устойчивых равновесных моделей лично мне представляется довольно трудной и весьма интересной задачей.